微信一面，被问懵了！

大家好，我是吴师兄。

前几天有个训练营的小伙伴跟我说，他去微信面试的时候被环形链表这道题目问懵了。

我一听，直接一连串问号过去：这道题目不是重点题目么？ 直播的时候强调过好几次！

他赶忙回应：代码都写对了，为什么相遇也回答对了，但关于为什么设置 fast 指针每次移动 2 步，能不能移动 3、4、5...步等延伸问题没回答出。

这个就是我的锅，没把这个问题加上去，索性今天也给大家分享一下，一个个来回答下方的问题。

• 1、当 slow = 1 ， fast = 2 ，为什么 fast 和 slow 一定会相遇？
• 2、当 slow = 1 ， fast = 2 ，fast 和 slow 相遇时，slow 指针是否绕环超过一圈？
• 3、slow 和 fast 的移动步数有什么规则？
• 4、能否设置为 slow 每次移动 1 步，fast 每次移动 3、4、5...步？
• 5、为什么设置 slow = 1 ， fast = 2 ？
• 6、为什么得出相反的结论？

为了方便大家理解与表达，所以回答尽可能的采取口语化的表达方式，面试的时候你直接拿去用就行。

1、当 slow = 1 ， fast = 2 ，为什么 fast 和 slow 一定会相遇？

首先，我们从现实角度去思考。

一个 400 米的圆形跑道上，有跑的慢的人、有跑的快的人，只要给予一定的时间，快的肯定会追上慢的，触发相遇。

环形链表在这个的基础上增加了一条限制：跑道并非连续，而是有一个个的节点组成的。

需要注意，如果两者没有在节点相遇，而是在节点与节点之间的位置相遇，那并非相遇只是相交。

1、假设，fast 在 slow 后方一个节点的位置，那么它们都跳一次之后，fast 和 slow 相遇了。

2、假设，fast 在 slow 后方两个节点的位置，那么它们都跳一次之后，fast 和 slow 的距离缩短为 1，变成了上述假设 1 的问题，可以相遇。

3、假设，fast 在 slow 后方 N 个节点的位置，那么它们都跳一次之后，fast 和 slow 的距离缩短为 N - 1，每条一次，都可以缩短一个单位，不断缩短，最终变成上述的假设 1。

所以，fast 和 slow 一定会相遇。

2、当 slow = 1 ， fast = 2 ，fast 和 slow 相遇时，slow 指针是否绕环超过一圈？

从 slow 进入环之后开始统计，fast 与 slow 相距最远的距离是 fast 在 slow 前方一个节点的位置。

此时，假设一下，fast 与 slow 同时在节点 2 开始出发，相当于两者相距一个环的距离。

当 slow 跑完一圈来到起始位置节点 2 时，由于 fast 速度是 slow 的两倍，那么 fast 必然跑了两圈也来到起始位置节点 2 ，两者相遇。

而此时，fast 在 slow 的前方位置，意味着两者的距离是小于一个完整的环的节点数的，说明 fast 可以更快的追上 slow。

既然 fast 与 slow 相距一个环的距离相遇时，slow 才能跑一圈，那么相距更短的距离，slow 没有跑完一圈，两者相遇了。

3、slow 和 fast 的移动步数有什么规则？

只需要两者的步数不一致就行。

4、能否设置为 slow 每次移动 1 步，fast 每次移动 3、4、5...步？

先说答案：可以！

首先，只要快慢两个指针都进入环中，两者有速度差，快指针就一定能够追上慢指针。

追上可以分为两种情况：

1、恰好追上，即快慢指针在某个位置相遇了 2、快指针超过了慢指针，快指针跑到了慢指针的前面了

所以，我们需要分析的就是第二种情况：跑到前面之后能否多跑几圈之后刚好相遇。

假设环的周长为整数 L，slow 每次走 a 步，fast 每次走 b 步，a ≠ b。

进入环后开始统计，相遇时两者都走了 t 次，如果把环拉成一根直线，相当于 fast 在距离 slow 为 t * (b – a ) 这样远的距离开始追击，每次追近 b – a 步，追了 t 次追上了。

那么 t * (b – a ) / L 就是 fast 需要跑多少圈才能追上 slow 并刚好相遇的答案。

n 表示圈数，为整数才合理。

因为如果 n 不是整数，代表 fast 和 slow 不在某个节点相遇，而是在节点与节点之间的位置相遇了。也就是说 n = t * (b – a ) / L 。

很显然，L 为常数值，(b – a ) 为常数值，必然可以找到 t，使得 t * (b – a ) 是 L 的倍数。

由此也证明了 slow 每次走 1 步，fast 每次走 2 步、3 步、4 步。。。都是可以相遇的。

甚至，slow 每次走 2 步，fast 每次 3 步、4 步。。。都是可以相遇的。

只要 a ≠ b，存在步数差。

5、为什么设置 slow = 1 ， fast = 2 ？

由于 n = t * (b – a ) / L 。

则 n 越小越合适，也就是希望 t * (b – a ) 越小，希望 b – a 越小，因为 b 和 a 才是我们可以控制的。

由此 b – a = 1 是一个最小的答案，即 fast 和 slow 相差一步最合理。

然后，再来看，slow 进环的时候，fast 已经在环里面了，当 slow 来到环入口的时候，代表 fast 已经跑了一圈。

所以，fast 和 slow 相遇，n 至少为 1。

n 越小，fast 总共走的路程就越小，时间复杂度就越低。

所以，n = 1 时最低的时间复杂度。

所以，fast 跑的越慢，越能在环中少跑几圈等到还在外面直线跑的 slow。

由于 a ≠ b， b – a = 1 ，a = 1，所以 b = 2。

所以，设置 slow 为 1 ，fast 为 2 最合理！

6、为什么得出相反的结论？

关于 fast 与 slow 能否相遇的问题，我在网上看到这样的回答。

仔细看看，是不是很有道理，但得到的结论却和本文问题 4 得出的结论不符。

谁是对的呢？

我们顺着它的假设来模拟一下。

假设环的周长为偶数，也就是六个节点。

并且进入环后 slow = 1 ，fast = 3，slow 与 fast 的距离为奇数。

模拟一下，fast 始终会出现在节点 4 和节点 1 这两个位置，当 slow 重新来到节点 1 的时候，fast 又来到了节点 4，如此反复，两者无法相遇。

这个结论是对的？？！！

这种假设根本就不会成立！

即进入环后 slow = 1 ，fast = 3，slow 与 fast 的距离为奇数这种假设无法成立。

在进入环之前，slow 和 fast 有一段公共的直线路需要走。

假设这条直线的长度为 m。

那么 slow 需要跳 m 次才能来到环入口位置节点 1 ，fast 需要跳 m/3 次才能第一次来到环入口位置节点 1，环的节点数是 6 个，fast 跑 2 次可以跑完一圈，假设跑了 n 圈，那么就跑了 2n 次，那么再跑一次就来到了节点 4 。

于是有了等式：m = m / 3 + 2n + 1。

计算一下得 n = ( 2m / 3 - 1 ) / 2。

由于 2m 为偶数，根据数学知识一个能被 3 整除的偶数除以 3 仍为偶数，于是 2m / 3 为偶数，2m / 3 - 1 为奇数， ( 2m / 3 - 1 ) / 2 无法是整数。

所以，找不到这样一个整数 m 和整数 n，使得上面的假设成立。

假设不成立，结论也不成立！

当然，还存在更严谨的数学证明，感兴趣的小伙伴可以搜一下裴蜀定理、线性同余方程等数学知识。

搞定！