高等数学整理(三)重积分

接高等数学整理(二)

重积分

二重积分的概念

之前我们知道了定积分的意义，就是求一个一元函数f(x)所组成的曲边梯形的面积。它是将ab线段划分成无穷小的一段∆x=(b-a)/n，这里n->∞再乘以高度(即函数值f(x))，最终得到

而对于多元函数来说，它所组成的空间，称为重积分。对于二元函数f(x,y)来说，就叫二重积分。我们所要求的就是一个曲顶柱体的体积。

这里在XY平面上的绿色方块区域，我们称为积分区域，它平行于X轴的线段，设定为∆x，平行于Y轴的线段，设定为∆y,则它的面积就为∆δ=∆x•∆y，我们可以把∆δ想象的非常的小，就是一个点，则在曲顶柱体的高度就是二元函数值f(x,y)，则整个曲顶柱体由这些所有的很小的区域组成，它的体积就为

f(xi,yi)•∆δ，可以写为

dxdy可以写为

定积分与二重积分对比

• 例：求

，积分区域D由平面

构成

曲面z=√(R^2-x^2-y^2)表示球心在(0,0,0)处，半径为R的上半球面，D表示圆心为(0,0),半径为R的圆面。

所以

表示上半球的体积=(2/3)πR^3

二重积分的性质

• 例：比较

，

大小，D是(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形区域.

由

可知，我们只需要比较ln(x+y)和ln(x+y)^2即可

而(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形如下图所示

由图中我们可以看出1≤x+y≤2，则ln1≤ln(x+y)≤ln2，即0≤ln(x+y)≤ln2<lne=1

令f=ln(x+y) ∈ [0,1)，f-f^2=f(1-f)≥0,故f≥f^2

最终可得

≥

• 例：

，求估值。

设f(x,y)= 1/(100+cos^2x+cos^2y)，积分区域为

1/102≤1/(100+cos^2x+cos^2y)≤1/100，由

可知

δ等于4个三角形面积=10*10*(1/2)*4=200,所以

​