双线性弹塑性模型(一)
下面基于随动硬化模型来计算当前应力。
随动硬化模型和各向同性硬化模型的主要区别在于屈服面的变化。对于各向同性硬化模型，弹性范围（屈服应力的两倍）增大，而随动硬化模型弹性范围保持不变。
随着塑性应变的增加，弹性范围的中心平行于硬化曲线移动 为了模拟这种效应，定义了移动应力(shifted stress)
\eta，
\eta = \sigma - \alpha
\alpha称为返回应力(back stress)，代表弹性范围的中心。返回应力被视为一个塑性变量，必须在每次迭代时进行存储和更新。
基于随动硬化模型来计算当前应力的步骤：
一) 弹性预测
应变增量假设完全弹性，并计算应力增量和试应力(trial stress)。
\Delta \sigma^{tr} = E \Delta \epsilon
\sigma^{tr} = \sigma^n + \Delta \sigma^{tr}
既然为完全弹性，
\alpha也不变。
\alpha^{tr} = \alpha^n
\eta^{tr} = \sigma^{tr} - \alpha^{tr}
二) 检查屈服状态
检查试应力是否满足屈服条件，即
f^{tr} = |\eta^{tr}| - \sigma_Y^0
注意
\sigma_Y^0是常数。如果
f^{tr} <=0 ,则材料处于弹性状态。
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr}
应变增量是完全弹性的，塑性应变没有改变。
\epsilon_e^{n+1} = \epsilon_e^n + \Delta \epsilon
\alpha^{n+1} = \alpha^n
如果
f^{tr} >0 ,则材料已屈服。
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p
\alpha^{n+1} = \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p
除了在sgn函数中使用移动应力(shifted stress)，应力更新公式与各向同性硬化模型应力更新公式基本一致。这里
sgn() 是符号函数。由于塑性应变增量仍未知，需要增加一个条件：在加载过程中，修正后的应力必须在屈服面上
|\sigma^{n+1}| - \sigma_Y^{0} =0
|\sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p - \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p| = 0
|\sigma^{tr} - \alpha^{tr}| - \sigma_Y^{0}-(E+H)\Delta \epsilon_p =0
\Delta \epsilon_p = \frac {|\sigma^{tr}| - \sigma_Y^0}{E+H}=\frac {f^{tr}}{E+H}
由于
f^{tr}>0 ,塑性应变增量总是正的。
接下来进入下一步迭代。
[算例]
对一根杆做拉伸试验，荷载分级加载。某一时刻应力
\sigma^{n}=200MPa,塑性应变
\epsilon_p^n = 1E-4,
\alpha^{n}=2.5MPa.(1)材料此时处于弹性状态还是塑性状态？(2)当应变增量
\Delta \epsilon = -0.003，计算应力和塑性应变。
E=200GPa,H=25GPa,\sigma_Y^0=250MPa。
(1)
\eta^{n} = \sigma^{n}-\alpha^{n} = 197.5MPa<250MPa
材料处于弹性状态。
(2)
\Delta \sigma^{tr} = E \Delta \epsilon =-600MPa
\sigma^{tr} = \sigma^n + \Delta \sigma^{tr} =-400MPa
f^{tr} = |\sigma^{tr}-\alpha_n| - \sigma_Y^0 =152.5MPa>0
材料已压缩屈服。
\Delta \epsilon_p =\frac {f^{tr}}{E+H}=6.778E-4
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p =-264.4MPa
\alpha^{n+1} = \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p =-14.44MPa
\epsilon_p^{n+1} = \epsilon_p^n+ E\Delta \epsilon_p = 7.778E-4
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