isomap降维算法

降维算法分为线性和非线性两大类，主成分分析PCA属于经典的线性降维，而t-SNE, MDS等属于非线性降维。在非线性降维中，有一个重要的概念叫做流形学习manifold learing。

首先来看下什么叫做流形，流形是一般几何对象的总称，包括各种维度的曲线和曲面，简单理解就是数据本身的分布满足一定的几何特征，以下图中的"瑞士卷"为例

可以看到，在三维空间中，样本点的分布构成了一个瑞士卷的形状，这个瑞士卷就是一个流形。通过流形学习来降维，就是假设数据的分布存在一个潜在的流形，降维其实是将流形在低维空间展开。

从而延伸出了测地线的概念，以上图中的两个黑色点为例，如果不考虑流形的情况下，计算二者的距离可能直接就是欧式距离了，但是在考虑流形的情况下，数据只能在流形上移动，通过邻近点的欧式距离累加来计算，如下图所示

终慢慢延伸，得出两点之间的距离就是红色曲线标记的距离。所谓流形学习，就是在降维时，考虑数据的流形。

在流形学习中，isomap和局部性嵌入LLE都是典型的算法。isomap全称如下

isometric mapping

称之为等距映射，该算法的本质是通过流形中的测地距离来表示高维空间的距离，然后通过MDS算法进行降维。具体的步骤如下

1. 构建邻接图，有两种方法，第一种指定半径阈值，半径内的点为邻近点，第二种为K近邻，在邻近点之间基于欧式距离构建一个邻接图

2. 计算样本点测地距离矩阵，本质是计算邻接图中样本点之间的最短路径，可以选择Floyd-Warshall或者Dijkstra算法

3. 通过MDS算法对测地距离矩阵进行降维

在sickit-learn中使用isomap的代码如下

>>> from sklearn.datasets import load_digits
>>> from sklearn.manifold import Isomap
>>> X, _ = load_digits(return_X_y=True)
>>> X.shape
(1797, 64)
>>> embedding = Isomap(n_components=2)
>>> X_transformed = embedding.fit_transform(X)
>>> X_transformed.shape
(1797, 2)

在sickit-learn中，就是通过指定邻近点数目K来构架邻接图的，不同的K值对算法的结果影响较大。

·end·

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