傅里叶变化公式解析(1)

1.内积

\overrightarrow {x} = (x_1,x_2,...x_n), \overrightarrow {y} = (y_1,y_2,...y_n)

\overrightarrow {x} \bullet \overrightarrow {y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i   即每一维数据相乘再相加

\overrightarrow {x} \bullet \overrightarrow {y} = |\overrightarrow {x}||\overrightarrow {y} |cos\theta  即一个向量在另一个向量方向上投影的模乘另一个向量的模

2.两个函数的内积

(f,g)=\int_{-\infty}^\infty f(x)g(x)dx   每一点的值相乘再相加

3.正交   两个向量内积为零称这两个向量正交，两个函数内积为零称这两个函数正交

4.正交函数集 其内任意两个函数正交

5.完备正交函数集，找不到集外的任意一个函数与集内函数正交了

6.三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数之间内积为0，只有频率相等时内积才不为0.

7.欧拉公式：e^{ix}=cosx+isinx

e^{-j\Omega t}=cos\Omega t-jsin\Omega t

8.傅里叶变化：X(j\Omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\Omega t}dt  即x(t)与三角函数的内积，那么只有频率相等的被加起来，频率的就叠加即频谱，频域信号

9.傅里叶逆变化：x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega  同理只有t时刻的分量叠加，即时域信号