线性代数--MIT18.06(三)

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3. 矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1 课程内容：理解矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1.1 矩阵乘法的四种方式

首先我们定义矩阵乘法

• 基本方法（行乘以列） 我们知道，矩阵

的

元为

的第

行与

的第

列的各元素相乘之和，即

的第

行与

的第

列点乘所得到的结果

• 行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即

的各行为

的各行的线性组合构成，

的各行的线性组合的系数为

的行的各个分量，即

其中，

是

的各个行向量

• 列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即

的各列为

的各列的线性组合构成，

的各列的线性组合的系数为

的列的各个分量，即

其中，

是

的各个列向量

• 列乘以行的角度 由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵，因此从列乘以行的角度来看，矩阵

乘以

得到的是

个矩阵之和，其中第

个矩阵由

的第

列乘以

的第

行得到。

• 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘）

3.1.2 Gauss-Jordan法求逆矩阵

在第一讲的最后我们提到，如果系数矩阵

的逆矩阵

存在的话，

的解就可以由

到 ：

那么如何得到

？ 我们知道

的形式，只不过

为

的逆矩阵

,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解，只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已，这就是Gauss-Jordan法。

以矩阵

为例

首先构建增广矩阵,之后逐步消元即可

上述过程我们有一个重要假设，那就是

存在，那么什么情况下它才存在呢？

• 直观的解释 从上消元过程的最后一步我们知道只有当 系数矩阵

能够消元到单位阵

，

存在，也就是说系数矩阵的各行或各列不能是线性相关的（某一 行/列 是其他 行/列 的线性组合）

没有非零解 当

有非零解的时候，可以判断

不存在，为什么呢？ 很简单的推理那就是，当

有非零解的时候，假设

存在，那么在等式两边都左乘

，即可得到 ，这与我们的前提假设存在非零解所矛盾，因此

不存在。

3.1.3 AB的逆，A的转置的逆

对于

和

我们也可以使用同样的推理方式

由此我们可知，只要知道了

的逆，那么

的转置的逆只需要将其转置即可

3.2 矩阵乘法习题课

2011年练习题

（http://open.163.com/movie/2016/4/5/B/MBKJ0DQ52_MBLPMC95B.html）

问：当

，

满足什么条件下矩阵

存在逆矩阵，并求解该逆矩阵。

解答

使用上述讲解的Gauss-Jordan法进行求解

由消元过程我们就知道

即可保证

的逆矩阵存在，且

3.3 矩阵运算基本法则

为标量（scalar）,

为任意矩阵，则矩阵运算的基本法则（rules of operations）如下